O prawdach
W latach siedemdziesiątych XIX wieku niemiecki matematyk Georg Cantor badając zbiory i relacje między nimi, natknął się na problem nieskończoności. Wykazał między innymi, że nie istnieją nieskończoności największe. Oznacza to, że nawet największy zbiór nieskończony ma zawsze swój większy zbiór złożony ze wszystkich jego podzbiorów, czyli zbiór potęgowy, a ten większy zbiór ma swój większy zbiór i tak bez końca.1) Nie ma największej nieskończoności.
W 1927 roku niemiecki fizyk Werner Heisenberg, twórca macierzowej teorii mechaniki kwantowej, wykrył pewną uporczywą drobną nieokreśloność, która staje się coraz bardziej widoczna, im dokładniej przypatrujemy się takim rzeczom, jak przestrzeń, czas, masa i energia. Swoje spostrzeżenie sformułował w postaci zasady nieoznaczoności, jednej z fundamentalnych koncepcji mechaniki kwantowej.
W 1930 roku Kurt Gödel, austriacki logik i matematyk, odkrył, że istnieją wokół nas prawdy, których dowieść ani obalić nie można. W swoim twierdzeniu o niezupełności Gödel udowodnił, że w każdym ograniczonym systemie formalnym2) – np. w zbiorze aksjomatów tej czy innej ścisłej nauki – jest więcej twierdzeń prawdziwych, niż możliwych do udowodnienia i że wynika to z natury rzeczy. Oznacza to, że zawsze będą istniały twierdzenia, których matematycznie nie zdołamy dowieść, czyli wykazać ich słuszność, lub obalić, czyli wykazać, że słuszne nie są, ponieważ prawda o nich znajduje się poza systemem, w którym zostały sformułowane. Żeby twierdzenia te potwierdzić – ewentualnie im zaprzeczyć (czyli je sfalsyfikować) musielibyśmy wspiąć się na wyższy poziom (sformułować system formalny wyższego poziomu) i dopiero na nim uchwycić ich istotę. Na przykład, w przypadku arytmetyki nie oznacza to, że zbiór wszystkich twierdzeń arytmetyki nie istnieje, a jedynie, że nie może on być wygenerowany przez żaden system formalny. Twierdzenie o niezupełności Gödla oznacza zatem, że zawsze będą istniały prawdy, których nie potrafimy dowieść przy użyciu logiki. Nigdy.
Twierdzenie Gödla można sformułować w pozornie prosty sposób: Wszystkie teorie matematyczne są niezupełne. Oznacza to, że każdy matematyczny system formalny, jaki wymyślimy, będzie zawierał prawdy, których nie można dowieść – a w istocie nie da się ich nawet rozpoznać jako prawdy. Gödel nie udowodnił, że matematyka jest niezupełna, ale że każdy zbiór definicji, aksjomatów i twierdzeń jest siłą rzeczy niezupełny. Jeśli nawet znajdziemy w tym systemie takie nieudowodnione twierdzenia i odpowiednio system ten uzupełnimy aby twierdzenia te udowodnić to wówczas musi pojawić się jeszcze jedno prawdziwe twierdzenie, którego nie można dowieść. Ponieważ współczesna fizyka posługuje się matematyką jako swym głównym narzędziem, każda teoria fizyczna będzie siłą rzeczy niezupełna. Będzie zawierać stwierdzenia prawdziwe, których nie będzie można dowieść, albo co do których nie da się wykazać, że są prawdziwe. Wynika stąd, że wszystkie teorie, które już mamy są niezupełnie i wszystkie teorie, które będziemy mieć w przyszłości również będą niezupełne.
Sformułowaną przez Heisenberga zasadę nieoznaczoności możemy traktować w naukach przyrodniczych jako odpowiednik Gödlowskiego twierdzenia o niezupełności.
Twierdzenie Gödla wiąże się z dowodem, w którym Cantor mówi o nieistnieniu nieskończoności największej. Podobnie jak nie ma największej nieskończoności, nie ma możliwości dowiedzenia wszystkiego, co jest prawdziwe. Nie ma najwyższego poziomu – zawsze jest coś wyżej – dlatego musimy przyjąć, że będą istniały prawdy, których nie pojmiemy, nie zbadamy i nie potwierdzimy; ale też nie będziemy w stanie im zaprzeczyć. Nasze możliwości poznawcze są trwale ograniczone i nie da się tych ograniczeń pokonać. Nigdy nie poznamy całej prawdy.
Rozmyślając nad naturą tego rodzaju kompromisów, Niels Bohr, duński fizyk, jeden z twórców fundamentów mechaniki kwantowej, zauważył kiedyś, że contraria sunt complementa (przeciwieństwa się uzupełniają), a w szczególności "prawda i jasność się uzupełniają". To znaczy, że do prawdy dochodzimy kosztem jasności, a jasność osiągamy kosztem prawdy. W dowolnym momencie możemy mieć po trochę każdej z nich, ale nigdy nie będziemy mieć ich obu w całości. Im bardziej zbliżamy się do prawdy – im bardziej drobiazgowo badamy niuanse rzeczywistości – tym mniej wszystko staje się jasne. Im bardziej natomiast staramy się rozjaśnić najgłębsze tajemnice – choćby zagadkę pochodzenia wszechświata czy początków życia – w tym większym stopniu musimy zadowalać się prawdami, których nie da się logicznie dowieść, a także polegać na intuicji i wierze. A zatem w naszym dążeniu do poznania świata musimy pogodzić się z koniecznością zaakceptowania kompromisu względem dwóch przeciwstawnych celów, które zamierzamy osiągnąć: prawdy i jasności. Im więcej prawdy tym mniej jasności i przeciwnie, im jaśniej tym mniej prawdziwie.
1) Wyobraźmy sobie, że mamy zbiór trzech owoców: jabłko, gruszka i śliwka. Jego odpowiednikiem potęgowym będzie zbiór zawierający wszystkie możliwe kombinacje (podzbiory) ich poukładania. Zbiór ten zawiera więc: (a) jeden zbiór pusty {Ø}, nie zawierający żadnego owocu, (b) trzy owocowe zbiory jednoelementowe: {jabłko}, {gruszka}, {śliwka}, (b) trzy owocowe zbiory dwuelementowe: {jabłko, gruszka}, {jabłko, śliwka}, {gruszka, śliwka}, (c) jeden owocowy trzyelementowy zbiór wyjściowy: {jabłko, gruszka, śliwka}. Otrzymujemy w sumie aż osiem elementów – {Ø}, {jabłko}, {gruszka}, {śliwka}, {jabłko, gruszka}, {jabłko, śliwka}, {gruszka, śliwka}, {jabłko, gruszka, śliwka} – należących do zbioru potęgowego, trzyelementowego zbioru owoców {jabłko, gruszka, śliwka}. Zbiór potęgowy trzech owoców (8 elementów) jest więc o wiele większy od zbioru wyjściowego (3 elementy). W ten sposób Georg Cantor doszedł do twierdzenia o nieskończonej hierarchii zbiorów nieskończonych: nawet niepoliczalna nieskończoność będzie posiadać swój odpowiednik potęgowy, który znacznie ją przerasta. Oczywiście zbiory potęgowe też mają swoje potęgi, a te swoje i tak bez końca.
2) System formalny to zbiór aksjomatów (zdań) wraz z regułami wnioskowania (algorytmem), generujący pewien podzbiór zdań języka. System formalny pozwala odpowiedzieć, czy dane zdanie jest dowodliwe tzn. czy można je dowieść.
W 1927 roku niemiecki fizyk Werner Heisenberg, twórca macierzowej teorii mechaniki kwantowej, wykrył pewną uporczywą drobną nieokreśloność, która staje się coraz bardziej widoczna, im dokładniej przypatrujemy się takim rzeczom, jak przestrzeń, czas, masa i energia. Swoje spostrzeżenie sformułował w postaci zasady nieoznaczoności, jednej z fundamentalnych koncepcji mechaniki kwantowej.
W 1930 roku Kurt Gödel, austriacki logik i matematyk, odkrył, że istnieją wokół nas prawdy, których dowieść ani obalić nie można. W swoim twierdzeniu o niezupełności Gödel udowodnił, że w każdym ograniczonym systemie formalnym2) – np. w zbiorze aksjomatów tej czy innej ścisłej nauki – jest więcej twierdzeń prawdziwych, niż możliwych do udowodnienia i że wynika to z natury rzeczy. Oznacza to, że zawsze będą istniały twierdzenia, których matematycznie nie zdołamy dowieść, czyli wykazać ich słuszność, lub obalić, czyli wykazać, że słuszne nie są, ponieważ prawda o nich znajduje się poza systemem, w którym zostały sformułowane. Żeby twierdzenia te potwierdzić – ewentualnie im zaprzeczyć (czyli je sfalsyfikować) musielibyśmy wspiąć się na wyższy poziom (sformułować system formalny wyższego poziomu) i dopiero na nim uchwycić ich istotę. Na przykład, w przypadku arytmetyki nie oznacza to, że zbiór wszystkich twierdzeń arytmetyki nie istnieje, a jedynie, że nie może on być wygenerowany przez żaden system formalny. Twierdzenie o niezupełności Gödla oznacza zatem, że zawsze będą istniały prawdy, których nie potrafimy dowieść przy użyciu logiki. Nigdy.
Twierdzenie Gödla można sformułować w pozornie prosty sposób: Wszystkie teorie matematyczne są niezupełne. Oznacza to, że każdy matematyczny system formalny, jaki wymyślimy, będzie zawierał prawdy, których nie można dowieść – a w istocie nie da się ich nawet rozpoznać jako prawdy. Gödel nie udowodnił, że matematyka jest niezupełna, ale że każdy zbiór definicji, aksjomatów i twierdzeń jest siłą rzeczy niezupełny. Jeśli nawet znajdziemy w tym systemie takie nieudowodnione twierdzenia i odpowiednio system ten uzupełnimy aby twierdzenia te udowodnić to wówczas musi pojawić się jeszcze jedno prawdziwe twierdzenie, którego nie można dowieść. Ponieważ współczesna fizyka posługuje się matematyką jako swym głównym narzędziem, każda teoria fizyczna będzie siłą rzeczy niezupełna. Będzie zawierać stwierdzenia prawdziwe, których nie będzie można dowieść, albo co do których nie da się wykazać, że są prawdziwe. Wynika stąd, że wszystkie teorie, które już mamy są niezupełnie i wszystkie teorie, które będziemy mieć w przyszłości również będą niezupełne.
Sformułowaną przez Heisenberga zasadę nieoznaczoności możemy traktować w naukach przyrodniczych jako odpowiednik Gödlowskiego twierdzenia o niezupełności.
Twierdzenie Gödla wiąże się z dowodem, w którym Cantor mówi o nieistnieniu nieskończoności największej. Podobnie jak nie ma największej nieskończoności, nie ma możliwości dowiedzenia wszystkiego, co jest prawdziwe. Nie ma najwyższego poziomu – zawsze jest coś wyżej – dlatego musimy przyjąć, że będą istniały prawdy, których nie pojmiemy, nie zbadamy i nie potwierdzimy; ale też nie będziemy w stanie im zaprzeczyć. Nasze możliwości poznawcze są trwale ograniczone i nie da się tych ograniczeń pokonać. Nigdy nie poznamy całej prawdy.
Rozmyślając nad naturą tego rodzaju kompromisów, Niels Bohr, duński fizyk, jeden z twórców fundamentów mechaniki kwantowej, zauważył kiedyś, że contraria sunt complementa (przeciwieństwa się uzupełniają), a w szczególności "prawda i jasność się uzupełniają". To znaczy, że do prawdy dochodzimy kosztem jasności, a jasność osiągamy kosztem prawdy. W dowolnym momencie możemy mieć po trochę każdej z nich, ale nigdy nie będziemy mieć ich obu w całości. Im bardziej zbliżamy się do prawdy – im bardziej drobiazgowo badamy niuanse rzeczywistości – tym mniej wszystko staje się jasne. Im bardziej natomiast staramy się rozjaśnić najgłębsze tajemnice – choćby zagadkę pochodzenia wszechświata czy początków życia – w tym większym stopniu musimy zadowalać się prawdami, których nie da się logicznie dowieść, a także polegać na intuicji i wierze. A zatem w naszym dążeniu do poznania świata musimy pogodzić się z koniecznością zaakceptowania kompromisu względem dwóch przeciwstawnych celów, które zamierzamy osiągnąć: prawdy i jasności. Im więcej prawdy tym mniej jasności i przeciwnie, im jaśniej tym mniej prawdziwie.
1) Wyobraźmy sobie, że mamy zbiór trzech owoców: jabłko, gruszka i śliwka. Jego odpowiednikiem potęgowym będzie zbiór zawierający wszystkie możliwe kombinacje (podzbiory) ich poukładania. Zbiór ten zawiera więc: (a) jeden zbiór pusty {Ø}, nie zawierający żadnego owocu, (b) trzy owocowe zbiory jednoelementowe: {jabłko}, {gruszka}, {śliwka}, (b) trzy owocowe zbiory dwuelementowe: {jabłko, gruszka}, {jabłko, śliwka}, {gruszka, śliwka}, (c) jeden owocowy trzyelementowy zbiór wyjściowy: {jabłko, gruszka, śliwka}. Otrzymujemy w sumie aż osiem elementów – {Ø}, {jabłko}, {gruszka}, {śliwka}, {jabłko, gruszka}, {jabłko, śliwka}, {gruszka, śliwka}, {jabłko, gruszka, śliwka} – należących do zbioru potęgowego, trzyelementowego zbioru owoców {jabłko, gruszka, śliwka}. Zbiór potęgowy trzech owoców (8 elementów) jest więc o wiele większy od zbioru wyjściowego (3 elementy). W ten sposób Georg Cantor doszedł do twierdzenia o nieskończonej hierarchii zbiorów nieskończonych: nawet niepoliczalna nieskończoność będzie posiadać swój odpowiednik potęgowy, który znacznie ją przerasta. Oczywiście zbiory potęgowe też mają swoje potęgi, a te swoje i tak bez końca.
2) System formalny to zbiór aksjomatów (zdań) wraz z regułami wnioskowania (algorytmem), generujący pewien podzbiór zdań języka. System formalny pozwala odpowiedzieć, czy dane zdanie jest dowodliwe tzn. czy można je dowieść.